Logické hádanky: Lámeme si hlavu se zlomky
- DATUM:12 února, 2018
- AUTOR:Bav se vědou
Jak dobře umíte zlomky? Otestujte svoje znalosti a zkuste najít VŠECHNA řešení následující rovnice: 1/x + 1/y + 1/z = 1
Proměnné x, y a z jsou přirozená čísla větší než nula.
ŘEŠENÍ:
Odhlédneme-li od faktu, že hodnoty reprezentující proměnné x, y, a z můžeme navzájem zaměnit, existují pouze tři možná řešení zmíněné rovnice, a sice:
3, 3, 3
2, 3, 6
2, 4, 4
Proč neexistuje více řešení? Jestliže se na rovnici 1/x + 1/y + 1/z = 1 podíváme blíže, zjistíme, že nejméně jedno z hledaných čísel musí být menší než 4, protože 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4, což je méně než 1.
Řekněme, že proměnná x bude reprezentovat nejnižší možné číslo z hledaných přirozených čísel. Protože x musí být menší než 4 (viz výše), přicházejí v úvahu čísla 1, 2 a 3. Podívejme se tedy na tyto tři možnosti řešení
a) x = 1
V tomto případě by byl součet 1/x + 1/y + 1/z větší než 1, protože 1/1 se rovná 1. Číslo jedna tedy není správné řešení.
b) x = 2
V tomto případě musejí být hodnoty y a z větší než 2, protože jinak by byl výsledek rovnice 1/x + 1/y + 1/z větší než 1 (protože 1/2 + 1/2 = 1). Řekněme tedy, že y je druhé nejnižší číslo, tedy větší nebo rovno hodnotě z. Pro y = 3 existuje řešení: z = 6, protože 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
Pro y = 4 existuje rovněž jedno řešení: z = 4, protože 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1.
Pro y větší než 4 už žádné řešení neexistuje, protože 1/y + 1/z musí být větší než 1/2, aby platila rovnice 1/x + 1/y + 1/z = 1.
c) x = 3
Protože hodnoty proměnných y a z musejí být přinejmenším stejně velké jako x, existuje pouze jedno řešení – totiž y = 3 a z = 3. Pokud by hodnoty y a z byly vyšší než 3, byl by celkový součet nižší než 1 a rovnice by neplatila.
Zdroj: www.mathematik-olympiaden.de
DALŠÍ PŘÍSPĚVKY
Kvízy
Posted on
Bav se vědou
Jen málo lidí považuje vesmír jako nudné téma. Připravili jsme pro vás několik fascinujících otázek, které vám můžou odhalit další tajemství vesmíru. Dokážete rozpoznat pravdivost tvrzení týkajících se nejen naší …
Aktuality
Posted on
Štěpánka Čížková
Oslavy příchodu nového roku jsou po celém světě spjaty s odpalováním ohňostrojů. Kombinace pronikavých zvuků, jasných barevných světel a kouře stresuje domácí mazlíčky i volně žijící živočichy. Již několik studií …
Aktuality
Posted on
Viktor Chejlava
V České republice se usadil nový druh savce – bělozubka tmavá. Během letošního podzimu požádali vědci z Akademie věd ČR širokou veřejnost, aby jim pomohli zmapovat výskyt tohoto druhu. Lidé …