Jak dobře umíte zlomky? Otestujte svoje znalosti a zkuste najít VŠECHNA řešení následující rovnice: 1/x + 1/y + 1/z = 1
Proměnné x, y a z jsou přirozená čísla větší než nula.

 

ŘEŠENÍ:

Odhlédneme-li od faktu, že hodnoty reprezentující proměnné x, y, a z můžeme navzájem zaměnit, existují pouze tři možná řešení zmíněné rovnice, a sice:
3, 3, 3
2, 3, 6
2, 4, 4

Proč neexistuje více řešení? Jestliže se na rovnici 1/x + 1/y + 1/z = 1 podíváme blíže, zjistíme, že nejméně jedno z hledaných čísel musí být menší než 4, protože 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4, což je méně než 1.

Řekněme, že proměnná x bude reprezentovat nejnižší možné číslo z hledaných přirozených čísel. Protože x musí být menší než 4 (viz výše), přicházejí v úvahu čísla 1, 2 a 3. Podívejme se tedy na tyto tři možnosti řešení

a) x = 1
V tomto případě by byl součet 1/x + 1/y + 1/z větší než 1, protože 1/1 se rovná 1. Číslo jedna tedy není správné řešení.

b) x = 2
V tomto případě musejí být hodnoty y a z větší než 2, protože jinak by byl výsledek rovnice 1/x + 1/y + 1/z větší než 1 (protože 1/2 + 1/2 = 1). Řekněme tedy, že y je druhé nejnižší číslo, tedy větší nebo rovno hodnotě z. Pro y = 3 existuje řešení: z = 6, protože 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.

Pro y = 4 existuje rovněž jedno řešení: z = 4, protože 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1.

Pro y větší než 4 už žádné řešení neexistuje, protože 1/y + 1/z musí být větší než 1/2, aby platila rovnice 1/x + 1/y + 1/z = 1.

c) x = 3
Protože hodnoty proměnných y a z musejí být přinejmenším stejně velké jako x, existuje pouze jedno řešení – totiž y = 3 a z = 3. Pokud by hodnoty y a z byly vyšší než 3, byl by celkový součet nižší než 1 a rovnice by neplatila.

 

Zdroj: www.mathematik-olympiaden.de