Představte si, že na stole před vámi leží dvanáct závaží. Všechna vypadají stejně, ale jedno z nich má jinou hmotnost než zbývajících jedenáct. Vy však zatím bohužel nevíte, zda je toto závaží lehčí nebo těžší než ta zbývající. Jak zjistíte, které závaží se svou hmotností liší od ostatních, máte-li k dispozici dvouramennou váhu a pouhé tři pokusy? A dokážete přitom odhalit, zda je toto závaží těžší nebo lehčí než ostatní? Jak budete postupovat? Zvažte to! 🙂
ŘEŠENÍ:
Položíme čtyři závaží na levou misku vah a čtyři na pravou. Co se stane?
Možnost 1: Váha není v rovnovážné poloze. Takže hledané závaží bude jedno z oněch osmi závaží, která se právě nacházejí na váze. Řekněme, že čtyři závaží na levé misce vah jsou dohromady těžší než čtyři závaží vpravo. Vezmeme tedy tři závaží z oněch čtyř, která se nacházela vpravo, dáme je stranou (pamatujeme si přitom, která závaží to byla, stejně jako které závaží nám zůstalo na misce) a nahradíme je třemi závažími, která se při prvním vážení nacházela na misce vlevo (i zde si musíme zapamatovat závaží, které nám na levé misce zůstalo po prvním vážení). Na levou misku následně položíme tři ze čtyř závaží, která jsme dosud nevážili. Víme přitom, že tato závaží nemohou mít odlišnou hmotnost.
Nyní mohou nastat tři situace:
Situace 1.1: Levá strana váhy je těžší. Buď je tedy těžší závaží, které zbylo na levé misce po prvním vážení (a je tedy také těžší než zbývajících 11 závaží), nebo je hledané závaží to, které po prvním vážení zbylo na misce vpravo, a je tedy lehčí než zbývajících 11 závaží. Které z těchto dvou závaží je oním hledaným, zjistíme při třetím vážení, kdy obě závaží porovnáme.
Situace 1.2: Váha se nachází v rovnovážné poloze. Pak musí být hledané závaží jedno z těch tří, která při prvním vážení ležela na misce vpravo. Protože levá strana byla při tomto vážení těžší, víme, že hledané závaží bude lehčí než všechna ostatní. Při třetím vážení vezmeme dvě z těchto tří závaží a položíme je po jednom na prázdné misky vpravo a vlevo. Jestliže je jedno ze závaží lehčí, je tím hledaným. Pokud jsou obě stejně těžká, je hledaným závažím to třetí, zbývající.
Situace 1.3: Pravá strana váhy je těžší. Pak musí být hledané závaží jedním z oněch tří, která při prvním vážení ležela na misce vlevo. Zároveň teď víme, že je hledané závaží těžší než ostatních 11 závaží. Najdeme ho, pokud při třetím vážení vzájemně porovnáme dvě z výše zmíněných tří závaží. Je-li jedno z nich těžší, našli jsme ho. Pokud jsou obě stejně těžká, je hledaným závažím závaží číslo tři.
Možnost 2: Váha se při prvním vážení nachází v rovnovážné poloze. V tom případě bude hledané závaží mezi čtveřicí závaží, která jsme při prvním vážení nepoužili. Položíme tedy tři z těchto čtyř závaží na prázdnou misku vlevo, na misce vpravo nyní leží tři závaží z prvního vážení, z nichž ani jedno nemůže být oním hledaným. Následně mohou nastat tři situace:
Situace 2.1: Levá strana je těžší. Hledané závaží je tedy jedno ze tří závaží vlevo a je těžší než všechna ostatní. Podobně jako v předchozích případech najdeme hledané závaží při třetím vážení na základě porovnání dvou ze tří závaží, která se nacházela vlevo (viz výše).
Situace 2.2: Pravá strana je těžší. Hledané závaží je tedy jedno ze tří závaží, která se nacházejí vlevo, a je lehčí než ostatních jedenáct závaží. Při třetím vážení proto porovnáme dvě ze tří závaží, která se nacházela vlevo, a dospějeme tak ke konečnému výsledku.
Situace 2.3: Váha je při druhém vážení v rovnovážné poloze. Hledané závaží je tedy to, které nebylo na váze ani při prvním, ani při druhém vážení. Porovnáme ho proto při třetím vážení s libovolným závažím ze zbývajících jedenácti, abychom zjistili, zda je těžší nebo lehčí.
Zdroj: www.spiegel.de